PROBABILIDADES
1.1.INTRODUCCION
Cada
persona tiene alguna idea de lo que quiere decir con oportunidad o
probabilidad, esto es, lo que significa decir que M tiene una oportunidad en
tres de ganar un juego o que la probabilidad de ganar un juego es de 1/3. Al
estimar la probabilidad que ciertos eventos ocurran o no ocurran podemos, como
en el caso de sacar una figura de una baraja, contar el número de diferentes
maneras en que el evento puede o no ocurrir. Por otra parte, en el caso de estimar la probabilidad que una persona que ahora tiene 25 años viva para recibir una
herencia a la edad de 30 años, estamos obligados a depender de alguna
información disponible sobre lo que a pasado en ocasiones similares. En el
primer caso, el resultado se conoce como probabilidad matemática o teórica; en
el segundo caso el resultado se conoce como probabilidad estadística o
empírica.
1.2.
PROBABILIDAD DE UN EVENTO
¿Por qué cuando se lanza un dado algunas veces cae con el 3 en
la cara superior y otras no? ¿Por qué al llegar a un crucero el semáforo está
en luz verde y otras está en rojo o en color ámbar? ¿Por qué al participar en
una rifa algunas veces se obtiene un premio y muchas otras no?
Se dice que situaciones como éstas se rigen por el azar, pero,
¿qué es realmente el azar?
Para algunos, el azar es considerado como la interacción de
muchos factores que influyen en un resultado, argumentando que al llegar a un
crucero, por ejemplo, que el semáforo esté en si depende de circunstancias o
factores como la velocidad del automóvil antes de llegar al crucero, si está o
no sincronizado con los semáforos anteriores, si es el primero que está en el
trayecto a la oficina o el trabajo, pero sobre todo del tiempo programado para
cada uno de los tres colores.
Aunque en principio la probabilidad es un concepto vago, el
cálculo de probabilidades es una poderosa herramienta para todo aquel que
necesita determinar y medir qué tan probable es un evento por ocurrir. Es
necesario comenzar con algunas definiciones importantes.
1.3.
ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS
Al extraer una carta de una baraja, lanzar una moneda, tirar un
dado, y en otros ejemplos análogos, no podemos saber de antemano el resultado
que se va a obtener. Son experimentos aleatorios, aquellos en los que no
se puede predecir el resultado y de ellos se trata aquí.
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento
aleatorio se llama espacio muestral, y cada uno de esos posibles
resultados es un suceso elemental.
Ejemplo:
Al tirar una moneda y un dado, una forma de representar el espacio
muestral es:
Ejemplo:
Al tirar una moneda tres veces(o tirar tres monedas) el espacio
muestral será:
Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, se
verifica cuando ocurre cualquiera de los sucesos elementales que lo forman.
Hay un suceso que se verifica siempre, el suceso seguro que
es el mismo espacio muestral.
Haremos referencia algunas clases
de sucesos:
Ø Suceso
elemental: hace referencia a cada una de las
posibles soluciones que se pueden presentar.
Ejemplo:
Al lanzar una moneda al aire, los sucesos elementales
son la cara y la cruz. Al lanzar un dado, los sucesos elementales son el 1, el
2, 3, 4,5, 6.
Ø Suceso
compuesto: es un subconjunto de sucesos
elementales.
Ejemplo:
Lanzamos un dado y queremos que salga un número par.
El suceso "numero par" es un suceso compuesto, integrado por 3
sucesos elementales: el 2, el 4 y el 6
Ejemplo
El espacio muestral en el
lanzamiento de dos dados es:
Son 36 posibilidades o puntos muéstrales
¿Cuál será la probabilidad de
obtener un 9 en el lanzamiento de dos dados?
“Obtener 9" es un suceso compuesto, integrado
por 4 sucesos elementales: el (3,6), (4,5), (5,4) y (6,3)
Ejemplo
¿Cuál será la probabilidad de
que al extraer una carta de una baraja de 52 cartas esta sea una jota de
diamante?.
|
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Cartas negras
|
Cartas rojas
|
||
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Trébol
|
Espada
|
Diamante
|
Corazón
|
|
A
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1
|
1
|
1
|
1
|
|
2
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1
|
1
|
1
|
1
|
|
3
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
4
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
5
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
6
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
7
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
8
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
9
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
10
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
J
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
Q
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
K
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
Total
|
13
|
13
|
13
|
13
|
Calculemos el espacio
muestral.
Sabemos también que la mitad
de las cartas son negras y la otra mitad son rojas
Luego la probabilidad de que
sea una jota de diamante es:
1.4. OPERACIONES CON
SUCESOS
El suceso contrario a uno dado A, está formado por todos
los sucesos del espacio muestral que no están en A. Es el que ocurre cuando no
sucede A y se indica A.
Ø El suceso contrario del seguro es el suceso
imposible, que no se verifica nunca, se indica con Ø.
Ø Con los sucesos de un experimento aleatorio se pueden realizar
distintas operaciones. Dados dos sucesos A y B:
Ø La unión de A y B, AUB, es el suceso formado por
todos los sucesos elementales de A y de B. Ocurre cuando sucede A ó sucede B ó
ambos.
Ø La intersección,
, es el suceso formado por los
sucesos elementales comunes a A y B. Se verifica cuando ocurren A y B a la vez.
Ø La diferencia de A y B, A B, es el suceso formado
por los sucesos elementales de A que no están en B. Ocurre si sucede A pero no
B.
Ø Sucesos compatibles e incompatibles
ØEn un experimento aleatorio hay sucesos que pueden ocurrir a la
vez y sucesos que no.
Ø Dos sucesos se dicen compatibles si tienen algún suceso
elemental común. En este caso
≠Ø, pueden ocurrir a la vez.
Ø Dos sucesos se dicen incompatibles si no tienen ningún
suceso elemental común, en este caso
=Ø y no pueden ocurrir a la vez
Ø Un suceso y su contrario son siempre incompatibles, pero dos
sucesos incompatibles no siempre son contrarios, como se puede ver en el
ejemplo de la izquierda.
1)
En una bolsa tenemos tres bolas numeradas como 1, 2 y 3. Consideramos el experimento
de extraer una bola y anotar su número. Escribe todos los sucesos posibles.
Indica cuáles de ellos son los elementales.
{},{1,2,3},
{1,2}, {1,3}, {2,3}, {1}, {2} y {3}. Los tres últimos son los elementales.
2)
En una baraja, bajo el experimento de extraer una carta, considera los sucesos a) par, b) oros, c) par
y oros, d) par u oros, e) par menos oros, f) oros menos par y g) no par
Observa la imagen,
a)
hay 20 cartas rodeadas de
naranja, las pares,
b)
otras 20 que no, las
impares,
c)
10 oros.
d) El 2, 4, 6,10 y 12 de oros son pares.
e) Todos los oros y pares juntos son 25 cartas (todas las rodeadas
por amarillo o naranja)
f)
A los 2, 4, 6, 10 y 12 hay
que quitar el 2, 4, 6, 10 y 12 de oros, a 20 cartas se le quitan 5 quedan 15
g) El 1, 3, 5, 7 y 11 de oros.
3)
Al tirar un dado
consideramos los sucesos: A={par}, B={mayor de 3}, y C={impar}. De los tres
pares de sucesos posibles AB, AC y BC, indica cuáles son compatibles y/o
incompatibles:
Ø AB compatibles, cuando
salga el 4 o el 6.
Ø AC incompatibles, si es par no puede ser impar.
Ø BC compatibles, cuando salga el 5.
1.6.
PROBABILIDAD DE UN SUCESO
1.6.1.
La regla de Laplace
Cuando un experimento aleatorio es regular, es decir que todos los
sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir ó son equiprobables,
para calcular la probabilidad de un suceso cualquiera A, basta contar y hacer
el cociente entre el nº de sucesos elementales que componen A (casos favorables)
y el nº de sucesos elementales del espacio muestral (casos posibles).
Este resultado se conoce como regla de Laplace.
Observa que para poder aplicarla es necesario que todos los casos posibles sean
igualmente probables.
1.7. PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES
Vista la relación entre frecuencia relativa y probabilidad, se
cumple que:
• La probabilidad de un suceso
es un número entre 0 y 1.
• La probabilidad del suceso
seguro es 1 y la del suceso imposible 0.
• La probabilidad de la unión
de dos sucesos incompatibles A y B es P(AUB)=P(A)+P(B).
Y de éstas se deduce además que:
• La probabilidad del
contrario es p(A)=1-P(A)
• La
probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles es p(AUB)=p(A)+p(B)-p(
)
1.8. EJERCICIOS RESUELTOS
a)
¿Cuál es la probabilidad de
obtener cada uno de los resultados posibles?
P(1)=1/20=0,05
P(2)=2/20=0,1 P(3)=3/20=0,15
P(4)=4/20=0,2 P(5)=5/20=0,25 P(6)=5/20=0,25
b)
P(par)= 11/20 = 0,55 Hay dos 2 y cuatro 4, y cinco
6, 11 pares
c)
P(mayor de 3)= 14/20 =
0,70 14 posibles entre 20
d)
P(par y mayor de 3)=9/20=0,45 El 4 y el 6 son pares y mayores de 3
e)
P(par o mayor de
3)=19/20=0,95 Si sale 2, 4, 5 ó 6
5.
En una bolsa tenemos 7
bolas rojas, 9 bolas azules y 4 verdes. Extraemos una bola, calcula la
probabilidad de que
a)
No sea roja P(R )=13/20=0,65 Hay 20 bolas, 7 rojas, 13 no rojas
b)
Sea roja o azul
P(RUA)=16/20=0,8 7+9=16 rojas ó azules
En una urna hay 40
bolas rojas y azules, no sabemos cuántas de cada color,. Para averiguarlo
extraemos una bola, miramos el color y la devolvemos a la urna antes de sacra
otra. Repetimos el experimento 1000 veces y obtenemos 807 bolas rojas y 193
bolas azules. ¿Cuántas bolas de cada color estimas que hay en la urna?.
P(roja)=0,81
P(azul)=0,19 0,81·40 ˜ 32 rojas 0,19·40
˜ 8 azules
En un grupo, el 40%
juega baloncesto y el 60% fútbol, sabiendo que el 85% practica alguno de los
dos deportes, ¿qué porcentaje juega a los dos?.
a)
P(F)=0,60 P(B)=0,40
P(FUB)=0,85
b)
P(F∪B)= P(F)+P(B) - P(FnB)
c)
0,85=0,60+0,40-P(FnB) P(FnB)=0,15 15%
En una clase el 68%
aprueba Lengua y el 66% Matemáticas, si el 43% ha aprobado las dos asignaturas,
¿qué porcentaje no aprueba ninguna de las dos?.
Aprueba al menos una de las dos: P(L∪M)= P(L)+P(M) - P(LnM) = 0,68+0,61-0,43 = 0,86
Suspender las dos es el suceso contrario
a éste, luego su probabilidad es 1 – 0,86 = 0,14
El 14% ha
suspendido las dos asignaturas.
1.9.
EXPERIMENTOS COMPUESTOS
Regla de la multiplicación
Un experimento compuesto es el que está formado por varios
experimentos simples realizados de forma consecutiva.
Para calcular el espacio muestral de un experimento compuesto
conviene, en muchas ocasiones, hacer un diagrama de árbol que represente todas
las opciones.
Cada resultado viene dado por un camino del diagrama. Observa en
el ejemplo cómo construir un diagrama de
árbol.
Ejemplo
Tiramos una moneda tres veces seguidas, ¿Cuál es la probabilidad
de obtener tres caras?
Si te fijas en el ejemplo anterior, al indicar la probabilidad de
cada rama del camino, se obtiene la probabilidad de cada suceso compuesto
calculando el producto de los respectivos sucesos simples.
Para calcular la probabilidad de un suceso en un experimento
compuesto se multiplican las
Probabilidades de los sucesos simples que lo forman.
1.9.2.
Extracciones con devolución y sin
devolución
Un ejemplo de experimento compuesto lo encontramos en la
extracción sucesiva de cartas o de bolas de una urna, ... , en estos casos hay
que considerar si se devuelve la carta, bola, etc. antes de sacar la siguiente
o no.
Probabilidad condicionada
Cuando se realizan observaciones de varios sucesos puede que uno
dependa del otro.
Los sucesos "el día está gris" y "llevar paraguas" influyen entre
sí. Los sucesos “estudiar” y “aprobar”,
son sucesos que se favorecen; cuando se estudia, aumenta la probabilidad de
aprobar.
La probabilidad de que ocurra un suceso B cuando está ocurriendo
otro, A, se llama condicionada, y
se expresa p(B/A).
Dados dos sucesos, se dice que son independientes si la
presencia del uno no influye en la probabilidad del otro, es decir, si
P(B/A)=P(B); en caso contrario son dependientes.
A y B independientes: P(B/A)=P(B) y al tener en cuenta la formula anterior para
p(B/A),
A y B independientes: P(AnB)=P(A)·P(B)
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